Tugas 3 PDM

PEMBUKTIAN ATURAN PENYIMPULAN

1. MODUS PONEN (MP)

p⇒q
p
∴q

Pembuktian:
[(p⇒q)∧p]⇒q
ek ~[(~p∨q)∧p]∨q (Imp)
ek [(p∧~q)∨~p]∨q (Komp.DM)
ek [(p∨~p)∧(~p∨~q)]∨q (Dist)
ek [T∧(~p∨~q)]∨q (Komp)
ek (~p∨~q)]∨q (Id)
ek ~p∨(~q∨q) (As)
ek ~p∨T (Komp)
ek T (Id)

Kesimpulan :
Argumen
p⇒q
p
∴q
Argumen sah

2. MODUS TOLENS (MT)

p⇒q
~q
∴~p

Pembuktian ;
[(p⇒q)∧~q]⇒~p
ek ~[(~p∨q)∧~q]∨~p (Imp)
ek [(p∧~q)∨q]∨~p (DM)
ek [(p∨q)∧(~q∨q)]∨~p (Dist)
ek [(p∨q)∧T]∨~p (Komp)
ek (p∨q)∨~p (Id)
ek (p∨~p)∨(q∨~p) (Dist)
ek T∨(q∨~p) (Komp)
ek T (Id)

Kesimpulan :
Argumen
p⇒q
~q
∴~p
Argumen sah

3. Silogisme

p⇒q
q⇒r
∴p⇒r

Pembuktian :

[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)
ek (p⇒q)⇒[(q⇒r)⇒(p⇒r)] (Eksp)
ek (p⇒q)⇒[(~q∨r)⇒(~p∨r)] (Imp)
ek (p⇒q)⇒[(q∧~r)∨(~p∨r)] (Imp)
ek (p⇒q)⇒[(q∧~r)∨(r∨~p)] (Kom)
ek (p⇒q)⇒[(q∧~r)∨r]∨~p (As)
ek (p⇒q)⇒[(q∨r)∧(~r∨r)]∨~p (Dist)
ek (p⇒q)⇒[(q∨r)∧T]∨~p (Komp)
ek (p⇒q)⇒(q∨r)∨~p (Id)
ek (~p∨q)⇒q∨r∨~p (Imp)
ek ~(~p∨q)∨(q∨r∨~p) (Imp)
ek ~(~p∨q)∨(~p∨q)∨r) (As)
ek T∨r (Komp)
ek T

Kesimpulan :
Argumen
p⇒q
q⇒r
∴p⇒r
Argumen sah


4. DISTRUKTIF SILOGISMA (DS)

p∨q
~p
∴q

Pembuktian :

[(p∨q)∧~p]⇒q
ek ~[(p∨q)∧~p]∨q (Imp)
ek [(~p∧~q)∨p]∨q (DM)
ek [(~p∨p)∧(~q∨p)]∨q (Dist)
ek [T∧(~q∨p)]∨q (Komp)
ek (~q∨p)∨q (Id)
ek (~q∨q)∨p (As)
ek T∨p (Komp)
ek T (Id)

Kesimpulan :
Argumen
p∨q
~p
∴q
Argumen Sah

5. Konstructif Dilema (KD)

p⇒q∧(r⇒s)
p∨r
∴q∨s

Pembuktian :

{[(p⇒q)∧(r⇒s)]∧(p∨r)}⇒q∨s
ek [(~p∨q)∧(~r∨s)∧(p∨r)]⇒q∨s (Imp)
ek [(p∧~q)∨(r∧~s)∨(~p∧~r)]∨(q∨s) (Imp)
ek [(p∧~q)∨(~p∧~r)∨(r∧~s)]∨(q∨s) (As)
ek [(p∧~q)∨(~p∧~r)]∨[(r∧~s)]∨(q∨s)] (As)
ek [{(p∧~q)∨~p}∧{(p∧~q)∨~r}]∨[(r∧~s)]∨(q∨s)] (Dist)
ek [{(p∧~q)∨~p}∧{(p∧~q)∨~r}]∨[{(r∧~s)]∨s}∨q] (As)
ek [{(p∨~p)∧(~q∨~p)}∧{(p∨~r)∧(~q∨~r)}]∨[{(r∨s)∧(~s∨s)}∨q] (Dist)
ek [{T∧(~q∨~p)}∧{(p∨~r)∧(~q∨~r)}]∨[{(r∨s)∧T}∨q] (Komp)
ek [{(~q∨~p)∧{(p∨~r)∧(~q∨~r)}]∨[{(r∨s)∨q] (Id)
ek [{(~q∨~p)∧{(p∨~r)∧(~q∨~r)}∨q]∨(r∨s)] (As)
ek [{(~q∨~p)∨q}∧{(p∨~r)∨q}∧{(~q∨~r)∨q}]∨[(r∨s)] (Dist)
ek [{(~q∨q)∨~p}∧(p∨q∨~r)∧{(~q∨q)∨~r}]∨[(r∨s)] (As)
ek [(T∨~p)∧(p∨q∨~r)∧(T∨~r)]∨[(r∨s)] (Komp)
ek [T∧(p∨q∨~r)∧T]∨(r∨s) (Id)
ek (p∨q∨~r)∨(r∨s) (Id)
ek (r∨~r)∨(p∨q∨s) (As)
ek T∨(p∨q∨s) (Komp)
ek T (Id)

Kesimpulan :
Argumen
p⇒q∧(r⇒s)
p∨r
∴q∨s
Argumen sah

6. Destruktif Dilema (DD)

p⇒q∧(r⇒s)
(~q∨~s)
∴(~p∨~r)

Pembuktian:

{[(p⇒q)∧(r⇒s]∧(~q∨~s)⇒(~p∨~r)
ek [(~p∨q)∧(~r∨s)∧(~q∨~s)]⇒(~p∨~r) (Imp)
ek [(p∧~q)∨(r∧~s)∨(q∧s)]∨(~p∨~r) (Imp)
ek [(p∧~q)∨(q∧s)∨(r∧~s)∨(~p∨~r)] (As)
ek [(p∧~q)∨(q∧s)]∨[(r∧~s)∨(~p∨~r)] (As)
ek [{(p∧~q)∨q}∧{(p∧~q)∨s}]code>∨[{(r∧~s)∨(~p∨~r)] (Dis)
ek [{(p∧~q)∨q}∧{(p∧~q)∨s}]code>∨[{(r∧~s)∨~r}∨~p] (As)
ek [{(p∨q)∧(~q∨q)}∧{(p∨s)∧(~q∨s)}]∨[{(r∨~r)∧(~s∨~r)}∨~p] (Dis)
ek [{(p∨q)∧T}∧{(p∨s)∧(~q∨s)}]∨[{T∧(~s∨~r)}∨~p] (Komp)
ek [(p∨q)∧(p∨s)∧(~q∨s)]∨[(~s∨~r)∨~p] (Id)
ek [(p∨q)∧(p∨s)∧(~q∨s)∨p]∨(~s∨~r) (As)
ek [{(p∨q)∨~p}∧{(p∨s)∨~p}∧{(q∨s)∨~p}]∨(~s∨~r) (Dis)
ek [{(p∨~p)∨q}∧{(p∨~p)∨s}∧(q∨s∨~p}]∨(~s∨~r) (As)
ek [(T∨q)∧(T∨s)∧(q∨s∨~p}]∨(~s∨~r) (Komp)
ek [(T∧T∧(q∨s∨~p}]∨(~s∨~r) (Id)
ek (q∨s∨~p}∨(~s∨~r) (Id)
ek (s∨~s)∨(~p∨q∨~r) (As)
ek T∨(~p∨q∨~r) (Komp)
ek T (Id)

Kesimpulan :
Argumen
p⇒q∧(r⇒s)
(~q∨~s)
∴(~p∨~r)
Argumen sah.

Tugas 2 PDM

1). Tentukan invers, konvers dan kontraposisinya!

a. Jika x³ bilangan ganjil maka x bilangan ganjil.
b. Tidak ada bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan nol.
c. x mahasiswa Unnes jika x memiliki KTM Unnes dan aktif dalam perkuliahan.

2). Tentukan ingkaran dari kontraposisi implikasi berikut:

a. Beberapa pesulap tidak memakai kostum hitam.
b. Doni bukan siswa SMA Merdeka jika Doni tidak berseragam putih hijau.

Jawab:

1). a. - Invers : ~p⇒~q
Jika x³ bukan bilangan ganjil maka x bukan bilangan ganjil.
- Konvers : q⇒p
Jika x bilangan ganjil maka x³ bilangan ganjil.
- Kontraposisi : ~q⇒~p
Jika x bukan bilangan ganjil maka x³ bukan bilangan ganjil.

b. PBE:
(i). Semua bilangan asli lebih dari nol.
(ii). Jika x bilangan asli maka x lebih dari nol.
- Invers : ~p⇒~q
Jika x bukan bilangan asli maka x kurang dari atau sama dengan nol.
- Konvers : q⇒p
Jika x lebih dari nol maka x bilangan asli.
- Kontraposisi :~q⇒~p
Jika x kurang dari atau sama dengan nol maka x bukan bilangan asli.

c. PBE:
Jika x memiliki KTM Unnes dan aktif dalam perkuliahan maka x mahasiswa Unnes.
- Invers : ~p⇒~q
Jika x tidak memiliki KTM Unnes atau tidak aktif dalam perkuliahan maka x bukan mahasiswa Unnes.
- Konvers : q⇒p
Jika x mahasiswa Unnes maka x memiliki KTM Unnes dan aktif dalam perkuliahan.
- Kontraposisi : ~q⇒~p
Jika x bukan mahasiswa Unnes maka x tidak memiliki KTM Unnes atau tidak aktif dalam perkuliahan.

2). a. Negasi : Semua pesulap memakai kostum hitam.
PBE : Jika x pesulap maka x memakai kostum hitam.
Kontraposisi : Jika x tidak memakai kostum hitam maka x bukan pesulap.

b. PBE : Jika Doni tidak berseragam putih hijau maka Doni bukan siswa SMA Merdeka.
Kontraposisi : Jika Doni siswa SMA Merdeka maka Doni berseragam putih hijau.


EXERCISE 1 :

Tentukan invers, konvers dan kontraposisi dari proposisi berikut ini:

1). (p∧q) ⇒ r
2). p⇒ (q∧r)
3). ~p⇒ (q∧~r)
4). (p∨~q) ⇒ (q∧r)
5). (~q∧~r) ⇒ (~p∨q)
6). (q∨~r) ⇒ (p∧r)

Jawab :

1). - Invers : ~(p∧q) ⇒ ~r
≡(~p∨~q) ⇒ ~r
- Konvers : r ⇒ (p∧q)
- Kontraposisi : ~r ⇒ ~(p∧q)
≡~r ⇒ (~p∨~q)

2). - Invers : ~p ⇒ ~(q∧r)
≡~p ⇒ (~q∨~r)
- Konvers : (q∧r) ⇒ p
- Kontraposisi : ~(q∧r) ⇒ ~p
≡(~q∨~r) ⇒~p

3). - Invers : p⇒ ~(q∧~r)
≡p⇒ (~q∨r)
- Konvers :(q∧~r)⇒~p
- Kontraposisi :~(q∧~r)⇒p
≡(~q∨r)⇒p

4). - Invers :~(p∨~q)⇒~(q∧r)
≡(~p∧q)⇒(~q∨~r)
- Konvers : (q∧r)⇒(p∨~q)
- Kontraposisi :~(q∧r)⇒~(p∨~q)
≡(~q∨~r)⇒(~p∧q)

5). - Invers :~ (~q∧~r)⇒~(~p∨q)
≡(q∨r)⇒(p∧~q)
- Konvers :(~p∨q)⇒(~q∧~r)
- Kontraposisi : ~(~p∨q)⇒~(~q∧~r)
≡(p∧~q)⇒(q∨r)

6). - Invers : ~ (q∨~r)⇒~(p∧r)
≡(~q∧r)⇒(~p∨~r)
- Konvers : (p∧r)⇒ (q∨~r)
- Kontraposisi :~(p∧r)⇒ ~(q∨~r)
≡(~p∨~r)⇒ (~q∧r)

EXERCISE 2

Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi pernyataan:
1). Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.
2). Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.
3). Jika ABCD bujur sengkar maka ABCD segi empat.
4). Jika x > 10 maka x²>100.
5). Jika x²-16=0, maka x=4 atau x=-4.
6). Jika sin x=90⁰-cos x, maka x merupakan sudut lancip.
7). Jika tan x=-1, maka x=135⁰ dan x=315⁰.

Jawab:

1). - Invers : Jika hasil produksi tidak melimpah maka harganya tidak turun.
- Konvers : Jika harga hasil produksi turun maka hasil produksi melimpah.
- Kontraposiisi : Jika harga hasil produksi tidak turun maka hasil produksi tidak melimpah.

2). - Invers : Jika lapangan pekerjaan banyak maka pengangguran tidak meningkat.
- Konvers : Jika pengangguran meningkat maka lapangan pekerjaan tidak banyak.
- Kontraposisi : Jika pengangguran tidak meningkat maka lapangan pekerjaan banyak.

3). - Invers : Jika ABCD tidak bujur sangkar maka ABCD tidak segi empat.
- Konvers : Jika ABCD segi empat maka ABCD bujur sangkar.
- Kontraposisi : Jika ABCD tidak segi empat maka ABCD tidak bujur sangkar.

4). - Invers : Jika x≤10 maka x²≤100.
- Konvers : Jika x²>100 maka x>10.
- Kontraposisi : Jika x²≤100 maka x≤10.

5).- Invers : Jika x²-16≠0 maka x≠4 dan x ≠-4.
- Konvers : Jika x = 4 atau x= -4 maka x²-16=0.
- Kontraposisi : Jika x≠4 dan x≠-4 maka x²-16≠0.

6). - Invers : Jika sin x≠90⁰-cos x maka x bukan merupakan sudut lancip.
-Konvers : Jika x merupakan sudut lancip maka sin x = 90⁰-cos x.
- Kontraposisi : Jika x bukan merupakan sudut lancip maka sin x≠90⁰-cos x.

7). - Invers : Jika tan x≠-1 maka x≠135⁰ atau x≠315⁰.
- Konvers : Jika x=135⁰ dan x=315⁰ maka tan x= -1.
- kontraposisi : Jika x≠135⁰ atau x≠315⁰ maka tan x ≠ -1.

Tugas 1 PDM

Contoh kalimat:

1. Kalimat Pernyataan:

• Empat adalah bilangan yang habis dibagi dua.
• Lima bilangan prima pertama adalah 2,3,5,7,11.
• Log 10 = 1
• 1 Km = 100 m
• 1 Jam = 60 menit

Alasan: Karena kalimat tersebut secara jelas dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah)

2. Kalimat Terbuka:

• 2a + 4b = 6
• x = -y
• p + q + r = 18
• 4x - 6y < 8
  
• 3x²y + 4xy² + 5xy > 0

Alasan: Karena kalimat tersebut mengandung konstanta dan variabel yang kebenarannya belum bisa ditentukan.

3. Kalimat Perintah:

• Hapus papan tulis itu!
• Buatlah 5 contoh kalimat terbuka!
• Jelaskan yang dimaksud dengan Compound Statement!
• Pergilah ke perpustakaan jurusan matematika!
• Bacalah buku Fisika untuk Univesitas I!

Alasan: Karena kalimat tersebut merupakan kalimat yang menginginkan seseorang untuk melakukan sesuatu.

4. Kalimat Tanya:

• Bagaimana cara menggunakan rumus pytagoras?
  
• Apa yang dimaksud dengan operator biner?
• Kapan terjadinya tsunami di Aceh?
• Berapa anggota DPR di Indonesia?
• Apa yang dimaksud dengan Sistem Persamaan Linier?

Alasan: Karena kalimat tersebut digunakan untuk mencari informasi yang belum diketahui oleh seseorang.

5. Kalimat Harapan:

• Semoga kamu mendapatkan nilai ujian akhir yang baik.
• Mudah-mudah kita semua mendapat IPK 4,00.
• Aku berharap bisa menjadi asisten dosen dimata kuliah PDM.
• Semoga kualitas pendidikan di Indonesia pada umumnya dan Unnes pada khususnya menjadi lebih baik.
• Harapan saya sistem perkuliahan yang diterapkan di Unnes sekarang ini bisa membuat mahasiswa menjadi lebih kreatif, inovatif, dinamis dan kritis.

Alasan: Karena kalimat tersebut berisi keinginan akan sesuatu yang belum tercapai.

6. Kalimat Faktual:

• Tanggal 2 September 2009 telah terjadi gempa dengan kekuatan 7,3 SR di Jawa Barat.
• Bapak Susilo Bambang Yudhoyono adalah presiden Indonesia pada periode 2004-2009.
• Makhluk hidup yang ada di dunia ini adalah ciptaan Tuhan YME.
• Pengantar Dasar Matematika untuk rombel 1 angkatan 2009 diampu oleh Bapak Ardhi Prabowo.
• Jumlah mahasiswa baru jurusan matematika tahun 2009 terbanyak kedua setelah jurusan PGSD.

Alasan: Karena kalimat tersebut berisi peristiwa nyata yang telah terjadi.

7. Kalimat Disjungsi Inklusif:

• Esti orang yang cerdas atau baik?
• Bu Noni orang yang galak atau cerewet?
• Dia membeli sepatu atau tas?
• Tisya menyukai bunga mawar atau lili?
• Puput membeli jeruk atau apel?

Alasan: Karena kalimat tersebut memungkinkan komponen-komponennya terjadi secara bersamaan.

8. Kalimat Disjungsi Eksklusif:

• Dia lewat gang mangga atau gang jeruk?
• Kamu menginap di rumahku atau di rumah Tian?
• Anto memakai dasi merah atau biru?
• Tia memilih jurusan matematika atau akuntansi?
• Dia duduk di depan atau belakang?

Alasan: Karena kalimat tersebut tidak memungkinkan komponen-komponen penyusunnya terjadi secara bersamaan.

Assalamualaikum Wr. Wb.

Perkenalkan pemilik blog ini. Kami adalah anak Matematika Murni semester 1 angkatan 2009/2010 FMIPA Unnes. Kami terdiri dari:

• Ratnaningtyas Widyani Purnamasari (NIM:4111409005)
  
• Frestika Setiani Sya'baningtyas (NIM:4111409007)
• Putri Dwi Pradina (NIM:4111409013)
• Putut Mitasarhi (NIM:4111409016)

Demikian perkenalan dari kami.

Wassalamualaikum Wr. Wb.

Perkenalkan kami anak matematika murni semester 1 angkatan 2009/2010 di Unnes. Kami terdiri dari 4 orang yaitu

• Frestika Setiani Sya'baningtyas (NIM:4111409007)
• Putri Dwi Pradina (NIM:4111409013)
• Putut Mitasarhi (NIM:4111409016)
• Ratnaningtyas Widyani Purnamasari (NIM:4111409005)