1). Tentukan invers, konvers dan kontraposisinya!
a. Jika x
3 bilangan ganjil maka x bilangan ganjil.
b. Tidak ada bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan nol.
c. x mahasiswa Unnes jika x memiliki KTM Unnes dan aktif dalam perkuliahan.
2). Tentukan ingkaran dari kontraposisi implikasi berikut:
a. Beberapa pesulap tidak memakai kostum hitam.
b. Doni bukan siswa SMA Merdeka jika Doni tidak berseragam putih hijau.
Jawab:
1). a. - Invers : ~p
⇒
~q
Jika x
3 bukan bilangan ganjil maka x bukan bilangan ganjil.
- Konvers : q
⇒
p
Jika x bilangan ganjil maka x
3 bilangan ganjil.
- Kontraposisi : ~q
⇒
~p
Jika x bukan bilangan ganjil maka x
3 bukan bilangan ganjil.
b. PBE:
(i). Semua bilangan asli lebih dari nol.
(ii). Jika x bilangan asli maka x lebih dari nol.
- Invers : ~p
⇒
~q
Jika x bukan bilangan asli maka x kurang dari atau sama dengan nol.
- Konvers : q
⇒
p
Jika x lebih dari nol maka x bilangan asli.
- Kontraposisi :~q
⇒
~p
Jika x kurang dari atau sama dengan nol maka x bukan bilangan asli.
c. PBE:
Jika x memiliki KTM Unnes dan aktif dalam perkuliahan maka x mahasiswa Unnes.
- Invers : ~p
⇒
~q
Jika x tidak memiliki KTM Unnes atau tidak aktif dalam perkuliahan maka x bukan mahasiswa Unnes.
- Konvers : q
⇒
p
Jika x mahasiswa Unnes maka x memiliki KTM Unnes dan aktif dalam perkuliahan.
- Kontraposisi : ~q
⇒
~p
Jika x bukan mahasiswa Unnes maka x tidak memiliki KTM Unnes atau tidak aktif dalam perkuliahan.
2). a. Negasi : Semua pesulap memakai kostum hitam.
PBE : Jika x pesulap maka x memakai kostum hitam.
Kontraposisi : Jika x tidak memakai kostum hitam maka x bukan pesulap.
b. PBE : Jika Doni tidak berseragam putih hijau maka Doni bukan siswa SMA Merdeka.
Kontraposisi : Jika Doni siswa SMA Merdeka maka Doni berseragam putih hijau.
EXERCISE 1 :
Tentukan invers, konvers dan kontraposisi dari proposisi berikut ini:
1). (p
∧
q)
⇒
r
2). p
⇒
(q
∧
r)
3). ~p
⇒
(q
∧
~r)
4). (p
∨
~q)
⇒
(q
∧
r)
5). (~q
∧
~r)
⇒
(~p
∨
q)
6). (q
∨
~r)
⇒
(p
∧
r)
Jawab :
1). - Invers : ~(p
∧
q)
⇒
~r
≡
(~p
∨
~q)
⇒
~r
- Konvers : r
⇒
(p
∧
q)
- Kontraposisi : ~r
⇒
~(p
∧
q)
≡
~r
⇒
(~p
∨
~q)
2). - Invers : ~p
⇒
~(q
∧
r)
≡
~p
⇒
(~q
∨
~r)
- Konvers : (q
∧
r)
⇒
p
- Kontraposisi : ~(q
∧
r)
⇒
~p
≡
(~q
∨
~r)
⇒
~p
3). - Invers : p
⇒
~(q
∧
~r)
≡
p
⇒
(~q
∨
r)
- Konvers :(q
∧
~r)
⇒
~p
- Kontraposisi :~(q
∧
~r)
⇒
p
≡
(~q
∨
r)
⇒
p
4). - Invers :~(p
∨
~q)
⇒
~(q
∧
r)
≡
(~p
∧
q)
⇒
(~q
∨
~r)
- Konvers : (q
∧
r)
⇒
(p
∨
~q)
- Kontraposisi :~(q
∧
r)
⇒
~(p
∨
~q)
≡
(~q
∨
~r)
⇒
(~p
∧
q)
5). - Invers :~ (~q
∧
~r)
⇒
~(~p
∨
q)
≡
(q
∨
r)
⇒
(p
∧
~q)
- Konvers :(~p
∨
q)
⇒
(~q
∧
~r)
- Kontraposisi : ~(~p
∨
q)
⇒
~(~q
∧
~r)
≡
(p
∧
~q)
⇒
(q
∨
r)
6). - Invers : ~ (q
∨
~r)
⇒
~(p
∧
r)
≡
(~q
∧
r)
⇒
(~p
∨
~r)
- Konvers : (p
∧
r)
⇒
(q
∨
~r)
- Kontraposisi :~(p
∧
r)
⇒
~(q
∨
~r)
≡
(~p
∨
~r)
⇒
(~q
∧
r)
EXERCISE 2
Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi pernyataan:
1). Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.
2). Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.
3). Jika ABCD bujur sengkar maka ABCD segi empat.
4). Jika x > 10 maka x
2>100.
5). Jika x
2-16=0, maka x=4 atau x=-4.
6). Jika sin x=90
0-cos x, maka x merupakan sudut lancip.
7). Jika tan x=-1, maka x=135
0 dan x=315
0.
Jawab:
1). - Invers : Jika hasil produksi tidak melimpah maka harganya tidak turun.
- Konvers : Jika harga hasil produksi turun maka hasil produksi melimpah.
- Kontraposiisi : Jika harga hasil produksi tidak turun maka hasil produksi tidak melimpah.
2). - Invers : Jika lapangan pekerjaan banyak maka pengangguran tidak meningkat.
- Konvers : Jika pengangguran meningkat maka lapangan pekerjaan tidak banyak.
- Kontraposisi : Jika pengangguran tidak meningkat maka lapangan pekerjaan banyak.
3). - Invers : Jika ABCD tidak bujur sangkar maka ABCD tidak segi empat.
- Konvers : Jika ABCD segi empat maka ABCD bujur sangkar.
- Kontraposisi : Jika ABCD tidak segi empat maka ABCD tidak bujur sangkar.
4). - Invers : Jika x
≤
10 maka x
2≤
100.
- Konvers : Jika x
2>100 maka x>10.
- Kontraposisi : Jika x
2≤
100 maka x
≤
10.
5).- Invers : Jika x
2-16
≠
0 maka x
≠
4 dan x
≠
-4.
- Konvers : Jika x = 4 atau x= -4 maka x
2-16=0.
- Kontraposisi : Jika x
≠
4 dan x
≠
-4 maka x
2-16
≠
0.
6). - Invers : Jika sin x
≠
90
0-cos x maka x bukan merupakan sudut lancip.
-Konvers : Jika x merupakan sudut lancip maka sin x = 90
0-cos x.
- Kontraposisi : Jika x bukan merupakan sudut lancip maka sin x
≠
90
0-cos x.
7). - Invers : Jika tan x
≠
-1 maka x
≠
135
0 atau x
≠
315
0.
- Konvers : Jika x=135
0 dan x=315
0 maka tan x= -1.
- kontraposisi : Jika x
≠
135
0 atau x
≠
315
0 maka tan x
≠
-1.